El Pixel Maestro octubre 01, 2025
Solución de Matrices por Gauss-Jordan: Ejemplos y Pasos

🧮 Solución de Matrices por Gauss-Jordan: 5 Ejemplos Completos

1️⃣ ¿Qué es el Método de Gauss-Jordan?

El método de Gauss-Jordan es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales, transformando la matriz aumentada del sistema en una matriz identidad mediante operaciones elementales de fila.

Las operaciones elementales de fila son:

  • Intercambiar filas
  • Multiplicar una fila por un número distinto de cero
  • Sumar o restar un múltiplo de una fila a otra fila

El objetivo es obtener una matriz de la forma:

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & x_1 \\ 0 & 1 & 0 & x_2 \\ 0 & 0 & 1 & x_3 \end{array}\right] $$

2️⃣ Ejemplo 1: Sistema 2x2

Resolver el sistema:

$$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases} $$

Matriz aumentada:

$$ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 11 \end{array}\right] $$

Paso 1: \( R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 \):

$$ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & -4 \end{array}\right] $$

Paso 2: \( R_2 \leftarrow -\frac{1}{2}R_2 \):

$$ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right] $$

Paso 3: \( R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2 \):

$$ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right] $$

Solución: \( x = 1 \), \( y = 2 \)

3️⃣ Ejemplo 2: Sistema 3x3

Resolver:

$$ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + y - z = 0 \end{cases} $$

Matriz aumentada:

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right] $$

Paso 1: \( R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \), \( R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \):

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 0 & -2 & -6 \end{array}\right] $$

Paso 2: \( R_3 \leftarrow -\frac{1}{2}R_3 \):

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right] $$

Paso 3: \( R_2 \leftarrow R_2 + R_3 \), \( R_1 \leftarrow R_1 - R_3 \):

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -3 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right] $$

Paso 4: \( R_2 \leftarrow -\frac{1}{3}R_2 \), \( R_1 \leftarrow R_1 - R_2 \):

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right] $$

Solución: \( x = 1 \), \( y = 2 \), \( z = 3 \)

4️⃣ Ejemplo 3: Sistema con fracciones

Resolver:

$$ \begin{cases} \frac{1}{2}x + y = 3 \\ x + \frac{1}{3}y = 2 \end{cases} $$

Multiplicamos para eliminar fracciones: \( 2R_1 \), \( 3R_2 \):

$$ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 6 \\ 3 & 1 & 6 \end{array}\right] $$

Paso 1: \( R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 \):

$$ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 6 \\ 0 & -5 & -12 \end{array}\right] $$

Paso 2: \( R_2 \leftarrow -\frac{1}{5}R_2 \):

$$ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & \frac{12}{5} \end{array}\right] $$

Paso 3: \( R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2 \):

$$ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \frac{6}{5} \\ 0 & 1 & \frac{12}{5} \end{array}\right] $$

Solución: \( x = \frac{6}{5} \), \( y = \frac{12}{5} \)

5️⃣ Ejemplo 4: Sistema inconsistente

Resolver:

$$ \begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 2y = 5 \end{cases} $$

Matriz aumentada:

$$ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{array}\right] $$

Paso 1: \( R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \):

$$ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$

Resultado: La fila \( 0 = 1 \) es imposible. El sistema es inconsistente.

6️⃣ Ejemplo 5: Sistema con infinitas soluciones

Resolver:

$$ \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 2y + 2z = 4 \end{cases} $$

Matriz aumentada:

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 4 \end{array}\right] $$

Paso 1: \( R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \):

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $$

Resultado: Hay infinitas soluciones. Se puede escribir como: \( x = 2 - y - z \), donde \( y \) y \( z \) son parámetros libres.

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