El Pixel Maestro octubre 01, 2025
5 Problemas Resueltos por Gauss-Jordan

🧮 5 Problemas Resueltos por Gauss-Jordan

Problema 1

Resolver el sistema:

$$ \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 0 \end{cases} $$

Matriz aumentada:

$$ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{array}\right] $$

Paso 1: \( R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \):

$$ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \end{array}\right] $$

Paso 2: \( R_2 \leftarrow -\frac{1}{3}R_2 \):

$$ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right] $$

Paso 3: \( R_1 \leftarrow R_1 - R_2 \):

$$ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right] $$

Solución: \( x = 1 \), \( y = 2 \)

Problema 2

Resolver:

$$ \begin{cases} x + 2y + z = 6 \\ 2x + y - z = 1 \\ x - y + z = 2 \end{cases} $$

Matriz aumentada:

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 6 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \end{array}\right] $$

Paso 1: \( R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \), \( R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \):

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -3 & -11 \\ 0 & -3 & 0 & -4 \end{array}\right] $$

Paso 2: \( R_3 \leftarrow R_3 - R_2 \):

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -3 & -11 \\ 0 & 0 & 3 & 7 \end{array}\right] $$

Paso 3: \( R_3 \leftarrow \frac{1}{3}R_3 \), luego \( R_2 \leftarrow R_2 + 3R_3 \), \( R_1 \leftarrow R_1 - R_3 \):

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & \frac{11}{3} \\ 0 & -3 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{7}{3} \end{array}\right] $$

Paso 4: \( R_2 \leftarrow -\frac{1}{3}R_2 \), \( R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2 \):

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{7}{3} \end{array}\right] $$

Solución: \( x = 1 \), \( y = \frac{4}{3} \), \( z = \frac{7}{3} \)

Problema 3

Resolver:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x + 6y = 16 \end{cases} $$

Matriz aumentada:

$$ \left[\begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 8 \\ 4 & 6 & 16 \end{array}\right] $$

Paso 1: \( R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \):

$$ \left[\begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $$

Resultado: Infinitas soluciones. \( x = 4 - \frac{3}{2}y \), \( y \) es parámetro libre.

Problema 4

Resolver:

$$ \begin{cases} x - y + z = 1 \\ 2x + y - z = 3 \\ x + y + z = 3 \end{cases} $$

Matriz aumentada:

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right] $$

Paso 1: \( R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \), \( R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \):

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{array}\right] $$

Paso 2: \( R_3 \leftarrow \frac{1}{2}R_3 \), luego \( R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3 \):

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right] $$

Paso 3: \( R_2 \leftarrow -\frac{1}{3}R_2 \), \( R_1 \leftarrow R_1 + R_2 \):

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right] $$

Paso 4: \( R_1 \leftarrow R_1 + R_3 \):

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right] $$

Solución: \( x = \frac{4}{3} \), \( y = 1 \), \( z = \frac{2}{3} \)

Problema 5

Resolver:

$$ \begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 1 \end{cases} $$

Matriz aumentada:

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \end{array}\right] $$

Paso 1: \( R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \):

$$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$

Resultado: No tiene solución. El sistema es inconsistente.

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