Método de la Transpuesta de Matrices: Propiedades y Aplicaciones

🧮 Método de la Transpuesta de Matrices: Propiedades y Aplicaciones

1️⃣ ¿Qué es la Transpuesta de una Matriz?

La transpuesta de una matriz $ A $, denotada como $ A^T $, se obtiene al intercambiar las filas por columnas.

Si $ A = [a_{ij}] $, entonces $ A^T = [a_{ji}] $.

Es decir, el elemento en la posición $ (i, j) $ de $ A $ pasa a la posición $ (j, i) $ en $ A^T $.

Ejemplo:

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \Rightarrow A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} $$

Dada la matriz:

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} $$

Su transpuesta es:

$$ A^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ -1 & 0 & 5 \end{bmatrix} $$

Dada la matriz:

$$ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} $$

Su transpuesta es:

$$ B^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} $$

Dada la matriz simétrica:

$$ C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} $$

Su transpuesta es:

$$ C^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = C $$

En este caso, la matriz es igual a su transpuesta: es una matriz simétrica.

Una matriz cuadrada $ A $ es:

Dada:

$$ D = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} $$

Entonces:

$$ D^T = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} = -D $$

Esta matriz es antisimétrica.