Solucion del ejercicio 1.1 de Leithold, L.- El cálculo

Enunciado

En los ejercicios 1 a 4, determine si el conjunto es una función. Si es una función, determine su dominio.

1. (a) {(x,y) | y = √(x − 4)}
2. (b) {(x,y) | y = √(x² − 4)}
3. (c) {(x,y) | y = √(4 − x²)}
4. (d) {(x,y) | x² + y² = 4}

Solución paso a paso

(a) y = √(x − 4)

1. Identificamos el radicando: x − 4.
2. Condición para que la raíz sea real: el radicando debe ser ≥ 0.
   x − 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4.
3. La función √ devuelve un único valor no negativo por cada radicando no negativo. Por tanto, para cada x ≥ 4 hay exactamente un y.

Conclusión (a): Es función. Dominio: [4, ∞).

Rango (opcional): [0, ∞).

---

(b) y = √(x² − 4)

1. Radicando: x² − 4.
2. Condición para raíz real: x² − 4 ≥ 0. Esto equivale a x² ≥ 4 ⇒ |x| ≥ 2, es decir:
   x ≤ −2 ó x ≥ 2.
3. Para cada x en ese conjunto la raíz devuelve un único y ≥ 0, por tanto no hay ambigüedad.

Conclusión (b): Es función. Dominio: (−∞, −2] ∪ [2, ∞).

Ejemplo: x = 3 ⇒ y = √(9 − 4) = √5. Si x = 1 el radicando es negativo y no está permitido.

---

(c) y = √(4 − x²)

1. Radicando: 4 − x².
2. Condición: 4 − x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 4 ⇒ |x| ≤ 2. Es decir x ∈ [−2, 2].
3. La √ devuelve un único valor no negativo para cada x en ese intervalo.

Conclusión (c): Es función. Dominio: [−2, 2].

Geométricamente esto corresponde a la semicircunferencia superior de radio 2 (solo y ≥ 0).

---

(d) x² + y² = 4

1. Despejamos y: y² = 4 − x².
2. Tomando raíz: y = ±√(4 − x²). Es decir, para x con −2 ≤ x ≤ 2 normalmente existen dos valores de y (uno positivo y otro negativo).
3. Ejemplo: x = 0 ⇒ y = ±2. A un mismo x le corresponden dos valores de y, por lo que falla la unicidad necesaria para ser función.

Conclusión (d): No es función. (Para muchos x hay dos valores de y.)

Si se restringe la relación a y = √(4 − x²) (es decir solo la parte con y ≥ 0), entonces sí sería función (la semicircunferencia superior).

---

He eliminado MathJax y usado notación HTML simple para evitar errores de renderizado en Blogger. ¿Quieres que además te entregue las mismas fórmulas como imágenes (PNG/SVG) para asegurar que se vean exactamente igual en todos los navegadores? Puedo generarlas y darte los archivos listos.