Ejercicio Dominio de funciones Leithold, L.- El cálculo - 7a.Ed.

Enunciado

En los ejercicios, determine si el conjunto es una función. Si es función, determine su dominio.

1. (a) \(\{(x,y)\mid y=\sqrt{x+1}\}\)
2. (b) \(\{(x,y)\mid y=\sqrt{x^2-1}\}\)
3. (c) \(\{(x,y)\mid y=\sqrt{1-x^2}\}\)
4. (d) \(\{(x,y)\mid x^2+y^2=1\}\)

Solución paso a paso

(a) \(\; y=\sqrt{x+1}\)

1. Identificamos el radicando: \(x+1\).

2. Condición para que la raíz sea real: \(x+1\ge 0 \Rightarrow x\ge -1.\)

3. La raíz cuadrada \(\sqrt{\cdot}\) devuelve un único valor \(y\ge0\) para cada radicando no negativo, por lo que la relación asigna a cada \(x\) un único \(y\).

Conclusión (a): Es función. Dominio: \(\;[-1,\infty)\).

Rango: \([0,\infty)\).

---

(b) \(\; y=\sqrt{x^2-1}\)

1. Radicando: \(x^2-1\).

2. Condición: \(x^2-1\ge0 \Rightarrow x^2\ge1 \Rightarrow |x|\ge1.\)

3. Por tanto \(x\le-1\) o \(x\ge1\). Para cada \(x\) en ese conjunto la raíz produce un único \(y\ge0\), sin ambigüedad.

Conclusión (b): Es función. Dominio: \(\;(-\infty,-1]\cup[1,\infty)\).

Ejemplo: \(x=2\Rightarrow y=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\). Si \(x=0\) el radicando es negativo y no está permitido.

---

(c) \(\; y=\sqrt{1-x^2}\)

1. Radicando: \(1-x^2\).

2. Condición: \(1-x^2\ge0 \Rightarrow x^2\le1 \Rightarrow |x|\le1.\) Es decir \(x\in[-1,1].\)

3. La raíz devuelve un único \(y\ge0\) para cada \(x\) del intervalo, por lo que hay unicidad.

Conclusión (c): Es función. Dominio: \(\;[-1,1].\)

Geométricamente, esta expresión representa la semicircunferencia superior del círculo de radio 1 (solo la parte con \(y\ge0\)).

---

(d) \(\; x^2+y^2=1\)

1. Es la ecuación del círculo de radio \(1\) centrado en el origen.

2. Despejando \(y\): \(y^2=1-x^2 \Rightarrow y=\pm\sqrt{1-x^2}.\)

3. Para un mismo \(x\) con \(-1\le x\le1\) en general hay dos valores posibles de \(y\) (uno positivo y otro negativo). Ejemplo: \(x=0\Rightarrow y=\pm1\).

Conclusión (d): No es función. (Porque a muchos valores de \(x\) les corresponden dos valores de \(y\).)

Observación: Si se restringe la relación a \(y=\sqrt{1-x^2}\) (solo \(y\ge0\)) o a \(y=-\sqrt{1-x^2}\) (solo \(y\le0\)), cada restricción sería función (semicircunferencias).

---

¿Quieres que te entregue este mismo contenido ya formateado como entrada completa para pegar directamente en el editor HTML de Blogger (por ejemplo con título, etiquetas y fragmento listo)? ¿O prefieres que genere imágenes para cada gráfica para incrustarlas en la entrada?