Ejercicio Dominio de funciones Leithold, L.- El cálculo - 7a.Ed.

Enunciado

En los siguientes conjuntos, determine si son funciones. Si lo son, halle su dominio.

1. (a) \(\{(x,y)\mid y=x^2\}\)
2. (b) \(\{(x,y)\mid x=y^2\}\)
3. (c) \(\{(x,y)\mid y=x^3\}\)
4. (d) \(\{(x,y)\mid x=y^3\}\)

Solución paso a paso

(a) \(\; y=x^2\)

1. La ecuación está despejada como \(y\) en función de \(x\).

2. Para cada número real \(x\), existe un único valor \(y\) que satisface \(y=x^2\).

Conclusión (a): Es función. Dominio: \(\;\mathbb{R}\).

Rango: \([0,\infty)\).

---

(b) \(\; x=y^2\)

1. Aquí la variable independiente sería \(x\), pero la ecuación está dada en términos de \(y\).

2. Al despejar \(y\): \(y=\pm\sqrt{x}\).

3. Para cada \(x\ge0\), existen dos valores de \(y\) (uno positivo y otro negativo), salvo en \(x=0\) donde hay uno solo.

Conclusión (b): No es función de \(x\), porque no hay unicidad.

Representa la parábola \(x=y^2\), que no pasa la prueba de la recta vertical.

---

(c) \(\; y=x^3\)

1. La ecuación está despejada como \(y\) en función de \(x\).

2. Para todo \(x\in\mathbb{R}\), existe un único \(y\).

Conclusión (c): Es función. Dominio: \(\;\mathbb{R}\).

Rango: \(\mathbb{R}\). Es la función cúbica usual.

---

(d) \(\; x=y^3\)

1. Si despejamos \(y\): \(y=\sqrt[3]{x}\).

2. La raíz cúbica es única para todo número real.

Conclusión (d): Es función. Dominio: \(\;\mathbb{R}\).

Es la inversa de \(y=x^3\).

---

Observación: en (b) no es función, en (a), (c) y (d) sí lo son.