Ejercicio De Limites Leithold, L.- El cálculo - 7a.Ed.

Ejercicios de límites — Resuelto paso a paso

Presento las soluciones de forma didáctica: motivación, manipulación algebraica y conclusión. Las expresiones usan LaTeX: se verán bien si tienes MathJax activo en tu blog.

1. 13. \(\displaystyle \lim_{t\to 2^{+}} \frac{t+2}{t^{2}-4}\)
2. 15. \(\displaystyle \lim_{t\to 2^{-}} \frac{t+2}{t^{2}-4}\)
3. 17. \(\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\sqrt{3+x^{2}}}{x}\)

Soluciones

13) \(\displaystyle \lim_{t\to 2^{+}} \frac{t+2}{t^{2}-4}\)

Paso 1 — Observar la forma: Sustituir \(t=2\) da denominador \(2^{2}-4=0\), numerador \(2+2=4\). Tenemos una forma tipo \(\frac{\text{no cero}}{0}\), lo que sugiere que el límite puede diverger a infinito (positivo o negativo) dependiendo del signo del denominador al acercarnos a 2 desde la derecha.

Paso 2 — Factorizar el denominador: \[ t^{2}-4=(t-2)(t+2). \] Entonces la expresión se simplifica (para \(t\neq -2\)) a \[ \frac{t+2}{t^{2}-4}=\frac{t+2}{(t-2)(t+2)}=\frac{1}{t-2}. \] (La cancelación es válida cerca de \(t=2\) porque \(t+2\) no es cero en torno a \(2\).)

Paso 3 — Analizar el signo al acercarse desde la derecha: Si \(t\to 2^{+}\) entonces \(t-2\) es un número positivo muy pequeño (por ejemplo \(0.1, 0.01,\) ...). Por tanto \[ \frac{1}{t-2}\to +\infty. \]

Conclusión (13): \(\displaystyle \lim_{t\to 2^{+}} \frac{t+2}{t^{2}-4}=+\infty\). (El límite no existe como número finito; diverge a \(+\infty\).)

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15) \(\displaystyle \lim_{t\to 2^{-}} \frac{t+2}{t^{2}-4}\)

Paso 1 — Observación inicial: Igual que en el ejercicio 13, sustituyendo \(t=2\) da denominador cero y numerador \(4\). Hay que estudiar el signo del denominador al acercarnos desde la izquierda.

Paso 2 — Misma factorización y simplificación: \[ \frac{t+2}{t^{2}-4}=\frac{1}{t-2}\quad\text{(para }t\neq-2\text{).} \]

Paso 3 — Analizar el signo al acercarse desde la izquierda: Si \(t\to 2^{-}\) entonces \(t-2\) es un número negativo muy pequeño (por ejemplo \(-0.1,-0.01,\) ...). Entonces \[ \frac{1}{t-2}\to -\infty. \]

Conclusión (15): \(\displaystyle \lim_{t\to 2^{-}} \frac{t+2}{t^{2}-4}=-\infty\). (Nuevamente: no existe como número finito; diverge a \(-\infty\).)

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17) \(\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\sqrt{3+x^{2}}}{x}\)

Paso 1 — Comprobar la forma: Al sustituir \(x=0\) el numerador tiende a \(\sqrt{3}\) (un número positivo) y el denominador tiende a \(0\). Esto es de tipo \(\dfrac{\text{constante no cero}}{0}\), lo que sugiere divergencia a infinito (el signo dependerá del signo de \(x\) al aproximarse).

Paso 2 — Analizar el signo y comportamiento: Para \(x\to 0^{+}\) el denominador \(x\) es positivo y muy pequeño, mientras que el numerador \(\sqrt{3+x^{2}}\) se aproxima a \(\sqrt{3}>0\). Por tanto el cociente es positivo y su magnitud crece sin límite: \[ \frac{\sqrt{3+x^{2}}}{x}\;\xrightarrow[x\to 0^{+}]{}\; +\infty. \]

Comentario didáctico: No hace falta racionalizar ni manipular: cuando el numerador tiende a una constante positiva y el denominador tiende a \(0\) por valores positivos, el cociente tiende a \(+\infty\). Si el denominador se acercase a \(0\) por valores negativos, el límite sería \(-\infty\).

Conclusión (17): \(\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\sqrt{3+x^{2}}}{x}=+\infty.\)

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Resumen rápido: 13) \(+\infty\). 15) \(-\infty\). 17) \(+\infty\). Si quieres, te preparo la misma entrada con gráficas (imágenes) que ilustren la divergencia cerca de los puntos de interés — útil para tus alumnos en el blog.