Ejercicio De Limites Leithold, L.- El cálculo - 7a.Ed.

Ejercicios de límites — Soluciones detalladas

Resuelvo los límites 14, 16 y 18 paso a paso explicando cada decisión como lo haría un docente en clase. Usa MathJax para ver las fórmulas correctamente.

1. 14. \(\displaystyle \lim_{t\to 2^{-}} \frac{-t+2}{(t-2)^2}\)
2. 16. \(\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\sqrt{3+x^2}}{x}\)
3. 18. \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{3+x^2}}{x^2}\)

Soluciones

14) \(\displaystyle \lim_{t\to 2^{-}} \frac{-t+2}{(t-2)^2}\)

Paso 1 — Revisar la forma al sustituir: Si sustituimos \(t=2\) obtenemos numerador \(-2+2=0\) y denominador \((2-2)^2=0\): forma \(\tfrac{0}{0}\) indeterminada. Por eso conviene manipular algebraicamente.

Paso 2 — Manipulación algebraica: Observa que el numerador es \(-t+2=-(t-2)\). Entonces \[ \frac{-t+2}{(t-2)^2=\ } \frac{-(t-2)}{(t-2)^2} = -\,\frac{1}{t-2}, \qquad (t\neq2). \] Esta simplificación elimina la indeterminación y nos deja una expresión sencilla para analizar el límite lateral.

Paso 3 — Analizar el signo y comportamiento lateral: Estamos calculando el límite cuando \(t\to 2^{-}\), es decir \(t\) se aproxima a \(2\) desde la izquierda. Entonces \(t-2\) es un número negativo muy pequeño (por ejemplo \(-0.01\)). Evaluemos \[ -\frac{1}{t-2}. \] Si \(t-2\) es negativo y muy pequeño, \(1/(t-2)\) es un número negativo de gran magnitud; el signo negativo delante lo convierte en positivo grande. Ejemplo numérico: si \(t-2=-0.01\) entonces \(-1/(t-2)=-1/(-0.01)=+100.\)

Conclusión (14): \(\displaystyle \lim_{t\to 2^{-}} \frac{-t+2}{(t-2)^2}=+\infty.\) (El cociente crece sin límite positivo al aproximarse desde la izquierda.)

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16) \(\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\sqrt{3+x^2}}{x}\)

Paso 1 — Observar la forma: Al sustituir \(x=0\), el numerador tiende a \(\sqrt{3}\) (constante no cero) y el denominador tiende a \(0\). Esto sugiere una forma \(\dfrac{\text{constante}}{0}\), que típicamente diverge a \(\pm\infty\) según el signo del denominador.

Paso 2 — Analizar el signo: Aquí el límite es por la derecha (\(x\to 0^{+}\)), por lo que \(x>0\) y muy pequeño. El numerador \(\sqrt{3+x^{2}}\) es positivo (se aproxima a \(\sqrt{3}>0\)). Así que el cociente es positivo y su magnitud tiende a infinito al hacerse \(x\) más pequeño.

Conclusión (16): \(\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\sqrt{3+x^2}}{x}=+\infty.\)

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18) \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{3+x^2}}{x^2}\)

Paso 1 — Observar la forma: Sustituyendo \(x=0\) se obtiene numerador \(\sqrt{3}\) (constante positiva) y denominador \(0\). La forma es \(\dfrac{\text{constante}}{0}\).

Paso 2 — Comportamiento al acercarse por ambos lados: Ahora el denominador es \(x^2\), que siempre es \(\ge0\) y tiende a \(0\) ya sea que \(x\to 0^{+}\) o \(x\to 0^{-}\). En ambos casos \(x^2\) es un número positivo muy pequeño, y el numerador se aproxima a una constante positiva \(\sqrt{3}\). Por lo tanto el cociente es positivo y su magnitud crece sin límite.

Conclusión (18): \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{3+x^2}}{x^2}=+\infty.\)

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Resumen final: 14) \(+\infty\). 16) \(+\infty\). 18) \(+\infty\). Si quieres, te preparo la misma entrada con gráficas que muestren el comportamiento cerca de los puntos críticos (útil para los estudiantes) o una versión lista para pegar en el editor visual de Blogger.