🔍 Resolución de Ecuaciones Cuadráticas: Métodos y Aplicaciones

1️⃣ Introducción a las Ecuaciones Cuadráticas

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:

\( ax^2 + bx + c = 0 \)

Donde \( a \neq 0 \), y \( a \), \( b \), y \( c \) son coeficientes reales. Resolver una ecuación cuadrática significa encontrar los valores de \( x \) que satisfacen la igualdad.

Las soluciones pueden ser:

• Dos soluciones reales distintas
• Una solución real doble
• Ninguna solución real (soluciones complejas)

2️⃣ Método de Factorización

Este método se aplica cuando el trinomio cuadrático se puede factorizar fácilmente.

✅ Ejemplo 1:

Resuelve: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

Factorizamos: \( (x - 2)(x - 3) = 0 \)

Entonces: \( x = 2 \) o \( x = 3 \)

✅ Ejemplo 2:

Resuelve: \( x^2 + 4x + 4 = 0 \)

Este es un trinomio cuadrado perfecto: \( (x + 2)^2 = 0 \)

Entonces: \( x = -2 \) (solución doble)

✅ Ejemplo 3:

Resuelve: \( x^2 - 9 = 0 \)

Es una diferencia de cuadrados: \( (x - 3)(x + 3) = 0 \)

Entonces: \( x = 3 \) o \( x = -3 \)

3️⃣ Fórmula General (Fórmula Cuadrática)

Cuando no se puede factorizar fácilmente, usamos la fórmula cuadrática:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

El término dentro de la raíz, \( b^2 - 4ac \), se llama discriminante. Nos indica el tipo de soluciones:

• Si \( b^2 - 4ac > 0 \): dos soluciones reales distintas
• Si \( b^2 - 4ac = 0 \): una solución real doble
• Si \( b^2 - 4ac < 0 \): soluciones complejas

✅ Ejemplo 4:

Resuelve: \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \)

Aquí: \( a = 2 \), \( b = 3 \), \( c = -2 \)

Aplicamos la fórmula:

\( x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4} \)

Entonces: \( x = \frac{2}{4} = 0.5 \) o \( x = \frac{-8}{4} = -2 \)

✅ Ejemplo 5:

Resuelve: \( x^2 - 4x + 4 = 0 \)

Discriminante: \( (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 \)

Una solución: \( x = \frac{4}{2} = 2 \)

✅ Ejemplo 6:

Resuelve: \( x^2 + x + 1 = 0 \)

Discriminante: \( 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 \)

No tiene soluciones reales (soluciones complejas).

4️⃣ Completar el Cuadrado

Este método transforma la ecuación cuadrática en una forma que permite resolverla fácilmente.

La idea es convertir \( ax^2 + bx + c = 0 \) en \( (x + d)^2 = e \).

✅ Ejemplo 7:

Resuelve: \( x^2 + 6x + 5 = 0 \)

Reescribimos: \( x^2 + 6x = -5 \)

Sumamos \( \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9 \) a ambos lados:

\( x^2 + 6x + 9 = -5 + 9 \Rightarrow (x + 3)^2 = 4 \)

Entonces: \( x + 3 = \pm 2 \Rightarrow x = -3 \pm 2 \)

Soluciones: \( x = -1 \) o \( x = -5 \)

5️⃣ Aplicaciones Reales

Las ecuaciones cuadráticas se usan en:

• Física: trayectoria de proyectiles
• Arquitectura: diseño de puentes y estructuras
• Economía: maximizar ganancias o minimizar costos
• Ingeniería: análisis de sistemas dinámicos

✅ Ejemplo de Aplicación:

Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba. Su altura en metros después de \( t \) segundos es:

\( h(t) = -5t^2 + 20t + 1 \)

¿Cuándo toca el suelo?

Igualamos a 0: \( -5t^2 + 20t + 1 = 0 \)

Usando la fórmula cuadrática: \( t \approx 4.05 \) segundos (tomamos la positiva).

6️⃣ Gráfica de una Función Cuadrática

La gráfica de \( y = ax^2 + bx + c \) es una parábola.

• Si \( a > 0 \): la parábola abre hacia arriba
• Si \( a < 0 \): la parábola abre hacia abajo
• El vértice es el punto más alto o más bajo

El vértice se encuentra en: \( x = -\frac{b}{2a} \)

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