📘 Factorización de Trinomios: \( ax^2 + bx + c \)

🔍 Método 1: Factorización por Tanteo (Inspección)

Este método es ideal cuando el coeficiente principal \( a = 1 \), es decir, cuando el trinomio tiene la forma:

\( x^2 + bx + c \)

La idea es encontrar dos números \( m \) y \( n \) tales que:

• \( m + n = b \) (suman el coeficiente del término lineal)
• \( m \cdot n = c \) (multiplican el término constante)

Entonces, la factorización será:

\( x^2 + bx + c = (x + m)(x + n) \)

✅ Ejemplo 1:

Factoriza: \( x^2 + 5x + 6 \)

Buscamos dos números que sumen \( 5 \) y multipliquen \( 6 \).

Los números son \( 2 \) y \( 3 \), porque \( 2 + 3 = 5 \) y \( 2 \cdot 3 = 6 \).

Entonces:

\( x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \)

✅ Ejemplo 2:

Factoriza: \( x^2 - x - 12 \)

Buscamos dos números que sumen \( -1 \) y multipliquen \( -12 \).

Los números son \( 3 \) y \( -4 \), porque \( 3 + (-4) = -1 \) y \( 3 \cdot (-4) = -12 \).

Entonces:

\( x^2 - x - 12 = (x + 3)(x - 4) \)

🧮 Método 2: Factorización por Descomposición (Método AC)

Este método funciona para cualquier trinomio de la forma \( ax^2 + bx + c \), incluso cuando \( a \neq 1 \).

Pasos:

1. Multiplica \( a \cdot c \).
2. Encuentra dos números \( p \) y \( q \) tales que:
   • \( p + q = b \)
   • \( p \cdot q = a \cdot c \)
3. Reescribe el término \( bx \) como \( px + qx \).
4. Agrupa los términos en pares y factoriza por agrupación.

✅ Ejemplo 3:

Factoriza: \( 2x^2 + 7x + 3 \)

1. \( a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6 \)
2. Buscamos dos números que sumen \( 7 \) y multipliquen \( 6 \): \( 1 \) y \( 6 \).
3. Reescribimos: \( 2x^2 + 6x + x + 3 \)
4. Agrupamos: \( (2x^2 + 6x) + (x + 3) = 2x(x + 3) + 1(x + 3) \)
5. Factor común: \( (2x + 1)(x + 3) \)

\( 2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3) \)

✅ Ejemplo 4:

Factoriza: \( 6x^2 - 5x - 4 \)

1. \( a \cdot c = 6 \cdot (-4) = -24 \)
2. Números que suman \( -5 \) y multiplican \( -24 \): \( 3 \) y \( -8 \).
3. Reescribimos: \( 6x^2 + 3x - 8x - 4 \)
4. Agrupamos: \( (6x^2 + 3x) + (-8x - 4) = 3x(2x + 1) - 4(2x + 1) \)
5. Factor común: \( (3x - 4)(2x + 1) \)

\( 6x^2 - 5x - 4 = (3x - 4)(2x + 1) \)

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