Contiunuidad de funciones

Ejercicios: continuidad y tipo de discontinuidad (resuelto paso a paso)

Ejercicio 7

La función está dada por $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{5}{x-4}, & x\neq 4,\\[6pt] 2, & x=4.\end{cases}$$

Paso 1 — Comportamiento de la función al acercarnos a \(x=4\):

• Para \(x\neq 4\) la expresión es \(\dfrac{5}{x-4}\). Al acercarnos a \(4\) el denominador \(x-4\to 0\).
• Los límites laterales son: \[ \lim_{x\to4^+}\frac{5}{x-4}=+\infty,\qquad \lim_{x\to4^-}\frac{5}{x-4}=-\infty, \] porque por la derecha \(x-4>0\) y por la izquierda \(x-4<0\).

Paso 2 — Evaluación del valor en el punto:

La función está definida en \(x=4\) y su valor es \(f(4)=2\).

Paso 3 — ¿Se cumple la definición 1.8.1 de continuidad en \(x=4\)?

1. Se requiere que exista \(f(4)\). Sí existe (es \(2\)).
2. Se requiere que \(\lim_{x\to4} f(x)\) exista. No existe (los límites laterales son infinitos y de signo distinto).
3. Como la condición (2) falla, la igualdad \(\lim_{x\to4}f(x)=f(4)\) no puede cumplirse.

Tipo de discontinuidad: discontinuidad infinita (o esencial). Hay una asíntota vertical en \(x=4\).

$$\boxed{\text{Discontinuidad en }x=4\text{ (infinita). } \lim_{x\to4^+}f(x)=+\infty,\; \lim_{x\to4^-}f(x)=-\infty.}$$

Cómo dibujarla: dibuja la rama de la hipérbola \(y=\dfrac{5}{x-4}\) (una asíntota vertical en \(x=4\)). Además marca el punto aislado \((4,2)\) con un punto sólido — ese valor está definido pero no pertenece a la curva que tiende a infinito.

Ejercicio 8

La función está dada por $$g(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x+2}, & x\neq -2,\\[6pt] 0, & x=-2.\end{cases}$$

Paso 1 — Comportamiento cuando \(x\to -2\):

• Para \(x\neq -2\) la expresión es \(\dfrac{1}{x+2}\). Al acercarnos a \(-2\) el denominador \(x+2\to 0\).
• Los límites laterales son: \[ \lim_{x\to -2^+}\frac{1}{x+2}=+\infty,\qquad \lim_{x\to -2^-}\frac{1}{x+2}=-\infty. \]

Paso 2 — Valor en el punto:

Se ha definido \(g(-2)=0\).

Paso 3 — ¿Se cumple la definición 1.8.1 de continuidad en \(x=-2\)?

1. \(g(-2)\) existe (es \(0\)).
2. \(\lim_{x\to -2} g(x)\) no existe (los límites laterales son infinitos y de signos opuestos).
3. Por tanto la función no es continua en \(x=-2\).

Tipo de discontinuidad: discontinuidad infinita (o esencial). Hay una asíntota vertical en \(x=-2\).

$$\boxed{\text{Discontinuidad en }x=-2\text{ (infinita). } \lim_{x\to -2^+}g(x)=+\infty,\; \lim_{x\to -2^-}g(x)=-\infty.}$$

Cómo dibujarla: dibuja las dos ramas de la hipérbola \(y=\dfrac{1}{x+2}\) con la asíntota vertical en \(x=-2\). Marca el punto aislado \((-2,0)\) con un punto sólido (valor definido pero no coincidente con el comportamiento de la curva cercana).

Nota: ambas funciones tienen la particularidad de que el valor en el punto está dado (2 en el caso de \(f\), 0 en el caso de \(g\)), pero eso no “remueve” la discontinuidad porque los límites laterales divergen. Si quieres, te genero SVGs sencillos de las gráficas con las asíntotas y los puntos marcados para insertar en tu entrada.