Continuidad de una funcion

Ejercicios: Discontinuidades y Gráficas (resuelto paso a paso)

Ejercicio 1

Dada la función $$f(x)=\frac{x^2+x-6}{x+3},$$ dibuja la gráfica, determina el número donde es discontinua y demuestra por qué la definición 1.8.1 no se satisface en ese número.

Paso 1 — Factorizar el numerador:

\(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\).

Paso 2 — Simplificar (para \(x\neq -3\)):

\[ f(x)=\frac{(x+3)(x-2)}{x+3} = x-2 \quad (x\neq -3). \] Es decir, la función coincide con la recta \(y=x-2\) en todos los puntos salvo \(x=-3\).

Paso 3 — Comportamiento en \(x=-3\):

• Si sustituimos en la expresión simplificada \(x-2\), el valor sería \(x-2\big|_{x=-3}=-3-2=-5\).
• Pero en la definición original \(f(-3)\) no está definida porque el denominador \(x+3\) se anula en \(x=-3\).

Tipo de discontinuidad: discontinuidad removible (hay un hueco u «hole» en la gráfica en el punto \((-3,-5)\)).

Por qué la definición 1.8.1 (continuidad) no se satisface:

1. Para que \(f\) sea continua en \(a=-3\) se requieren tres condiciones:
   1. \(f(a)\) exista.
   2. \(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\).
2. En este caso \(\lim_{x\to -3} f(x)=\lim_{x\to -3}(x-2)=-5\) (existe), pero \(f(-3)\) no existe (la función no está definida ahí). Por tanto la condición (a) falla, y la continuidad no se cumple.

$$\boxed{\text{Discontinuidad en }x=-3\text{ (removible). Hueco en }(-3,-5).}$$

Cómo dibujarla: traza la línea recta \(y=x-2\) en el plano y marca un círculo abierto (hueco) en \((-3,-5)\) para indicar que la función no toma ese punto.

Ejercicio 2

Dada la función $$F(x)=\frac{x^2-3x-4}{x-4},$$ dibuja la gráfica, determina el número donde es discontinua y demuestra por qué la definición 1.8.1 no se satisface en ese número.

Paso 1 — Factorizar el numerador:

\(x^2-3x-4=(x-4)(x+1)\).

Paso 2 — Simplificar (para \(x\neq 4\)):

\[ F(x)=\frac{(x-4)(x+1)}{x-4}=x+1 \quad (x\neq 4). \] La función coincide con la recta \(y=x+1\) excepto en \(x=4\).

Paso 3 — Comportamiento en \(x=4\):

• La expresión simplificada da \(x+1\big|_{x=4}=5\).
• Sin embargo \(F(4)\) no está definida porque el denominador original \(x-4\) se anula en \(x=4\).

Tipo de discontinuidad: discontinuidad removible (hueco en el punto \((4,5)\)).

Por qué la definición 1.8.1 (continuidad) no se satisface:

El límite lateral y el límite total existen: \(\lim_{x\to 4} F(x)=\lim_{x\to 4}(x+1)=5\). Pero \(F(4)\) no existe. Falta que la función esté definida en el punto, así que no es continua en \(x=4\).

$$\boxed{\text{Discontinuidad en }x=4\text{ (removible). Hueco en }(4,5).}$$

Cómo dibujarla: traza la línea recta \(y=x+1\) y marca un círculo abierto en \((4,5)\) para indicar el hueco.

Nota para la práctica gráfica: si quieres incluir la representación exacta en tu blog, puedo añadir SVGs simples con las rectas y los huecos señalados (listos para insertar). ¿Quieres que los añada?