Ejercicio De Limites Leithold, L.- El cálculo - 7a.Ed.

Ejercicios de Límites Resueltos Paso a Paso (28, 30, 32)

Ejercicio 28

Resolver: $$\lim_{x\to1^-}\frac{\lfloor x^2\rfloor - 1}{x^2 - 1}$$ (Aquí \(\lfloor\cdot\rfloor\) es la función parte entera o piso).

Paso 1: Observa el comportamiento de \(x^2\) cuando \(x\to1^-\):

• Si \(x\to1^-\) entonces \(x^2\to 1^-\), es decir \(x^2<1\) pero cercano a \(1\).
• Para \(0\le x^2<1\) se cumple \(\lfloor x^2\rfloor = 0\).

Paso 2: Sustituimos la parte entera cerca de \(1\) por su valor:

Numerador: \(\lfloor x^2\rfloor - 1 = 0 - 1 = -1.\)
Denominador: \(x^2 - 1 \to 0^-\) (negativo, porque \(x^2<1\)).

Conclusión: la fracción tiende a \(-1/(0^-)=+\infty\).

$$\boxed{\lim_{x\to1^-}\frac{\lfloor x^2\rfloor - 1}{x^2 - 1}=+\infty}$$

Ejercicio 30

Resolver: $$\lim_{x\to2^+}\frac{6x^2 + x - 2}{2x^2 + 3x - 2}$$

Paso 1: Evaluamos directamente porque al sustituir \(x=2\) no obtenemos indeterminación:

• Numerador: \(6(2)^2 + 2 - 2 = 6\cdot4 + 0 = 24.\)
• Denominador: \(2(2)^2 + 3\cdot2 - 2 = 2\cdot4 + 6 - 2 = 8 + 4 = 12.\)

Paso 2: Dividimos:

$$\boxed{\lim_{x\to2^+}\frac{6x^2 + x - 2}{2x^2 + 3x - 2}=\frac{24}{12}=2.}$$

Como el denominador no se anula en \(x=2\), el límite lateral es igual al valor de la función en ese punto.

Ejercicio 32

Resolver: $$\lim_{x\to2^-}\frac{x-2}{\,2-\sqrt{4x-x^2}\,}$$

Paso 1: Comprobamos la forma al sustituir \(x=2\):

• Numerador: \(x-2\to 0\).
• Radical: \(4x-x^2\) en \(x=2\) es \(8-4=4\), \(\sqrt{4}=2\) → denominador \(2-2=0\).

Tenemos indeterminación \(0/0\). Usamos la técnica del conjugado:

Paso 2: Multiplicamos por el conjugado del denominador:

\[ \frac{x-2}{2-\sqrt{4x-x^2}}\cdot\frac{2+\sqrt{4x-x^2}}{2+\sqrt{4x-x^2}} =\frac{(x-2)\bigl(2+\sqrt{4x-x^2}\bigr)}{4-(4x-x^2)}. \]

Paso 3: Simplificamos el denominador:

\(4-(4x-x^2)=4-4x+x^2=(x-2)^2\).

Paso 4: Sustituimos en la fracción:

\[ \frac{(x-2)\bigl(2+\sqrt{4x-x^2}\bigr)}{(x-2)^2} =\frac{2+\sqrt{4x-x^2}}{x-2}\quad(x\neq 2). \]

Paso 5: Tomamos el límite cuando \(x\to2^-\):

• El numerador tiende a \(2+\sqrt{4}=2+2=4\) (positivo).
• El denominador \(x-2\) tiende a \(0^-\) (negativo, porque venimos por la izquierda).

Conclusión: la fracción tiende a un número grande negativo:

$$\boxed{\lim_{x\to2^-}\frac{x-2}{2-\sqrt{4x-x^2}}=-\infty}$$